Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\sqrt[3]{1} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.5

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.1.6

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{0}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{0}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Schritt 8.2.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

$\frac{0}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 8.3

Dividiere $0$ durch ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$0$