Analysis Beispiele

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x h} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 + 2 x h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} 2 x h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + lim_{h \to 0} 2 x h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 1.5

Ziehe den Term $2 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{\sqrt{1 + 2 x lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{1 + 2 x}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + 2 x lim_{h \to 0} h} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 x \cdot 0} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Multipliziere $2 x \cdot 0$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0 x} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

Schritt 3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$