Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 8} \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 7

Ersetze $t$ für $\frac{1}{x}$ und lasse $t$ sich $\frac{1}{8}$ nähern solange $lim_{x \to 8} \frac{1}{x} = \frac{1}{8}$ .

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 8.3

Berechne $\arctan (\frac{1}{8})$ .

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499}{\frac{1}{x}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499) x$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$(\frac{1}{64} + 2 \cdot 0.12435499) x$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0.12435499$ .

$(\frac{1}{64} + 0.24870998) x$

Schritt 9.3

Um $0.24870998$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$(\frac{1}{64} + 0.24870998 \cdot \frac{64}{64}) x$

Schritt 9.4

Kombiniere $0.24870998$ und $\frac{64}{64}$ .

$(\frac{1}{64} + \frac{0.24870998 \cdot 64}{64}) x$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 0.24870998 \cdot 64}{64} x$

Schritt 9.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $0.24870998$ mit $64$ .

$\frac{1 + 15.9174393}{64} x$

Schritt 9.6.2

Addiere $1$ und $15.9174393$ .

$\frac{16.9174393}{64} x$

Schritt 9.7

Dividiere $16.9174393$ durch $64$ .

$0.26433498 x$