Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.10

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.11.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.11.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Schritt 3.12

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Schritt 3.14

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Schritt 3.15

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cdot \cos (5 x)}$

Schritt 3.16

Mutltipliziere $5$ mit $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cos (5 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 10

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Schritt 13

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Schritt 14

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 15.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 16.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 16.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 16.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 16.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 16.1.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 16.1.7

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 16.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Schritt 16.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5}$