Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {\sin (x)}^{x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\sin (x)}^{x}$ als $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\sin (x)}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\sin (x))}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $e^{x \ln (\sin (x))}$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{0 \ln (\sin (0))}$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Schritt 3.3

Da $e^{0 \ln (0)}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Schritt 5

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 5.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

Schritt 5.2

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \ln (\sin (x))$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Schritt 5.3

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \ln (\sin (x))$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$e^{0}$

Schritt 5.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$

Schritt 6

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$