Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x}}{1 - e^{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Schritt 1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Schritt 1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x}}{1 - e^{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{0 - e^{x}}$

Schritt 3.9

Subtrahiere $e^{x}$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x}}{- e^{x}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} + e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - e^{x}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} e^{x}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{lim_{x \to 0} x}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} + e^{0}}{- e^{0}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + e^{0}}{- e^{0}}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 + e^{0}}{- e^{0}}$

Schritt 12.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0 + 1}{- e^{0}}$

Schritt 12.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{- e^{0}}$

Schritt 12.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Schritt 12.4

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$- 1$