Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{8 x^{4}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.7.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.7.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.2.7.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 8 x^{4}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{8 lim_{x \to 0} x^{4}}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{8 {(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{8 \cdot 0^{4}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{8 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{8 x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{1}{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2}{2} x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.5.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.5.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0 + x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Addiere $- \sin (x)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + x}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [8 x^{4}]}$

Schritt 3.7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{4}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{8 \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{8 (4 x^{3})}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{32 x^{3}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{32}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 5.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 5.1.2.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 5.1.2.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 5.1.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.4.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 5.1.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 5.1.2.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Schritt 5.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0^{3}}$

Schritt 5.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{32} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 5.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 5.3.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{32} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{3 x^{2}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 7

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 7.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 7.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 7.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 7.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 7.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 7.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 7.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 7.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 7.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 7.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 7.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 7.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 7.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Schritt 7.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Schritt 7.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Schritt 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 7.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 7.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3.4.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3.5

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 7.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

Schritt 8

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Schritt 9

Wende das Einschnürungstheorem an, da $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ und $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Multipliziere $\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{32}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{32 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 10.2

Multipliziere $\frac{1}{96} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{96}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{96 \cdot 2} \cdot 1$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $96$ mit $2$ .

$\frac{1}{192} \cdot 1$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\frac{1}{192}$ mit $1$ .

$\frac{1}{192}$