Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x)}{\tan (10 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Schritt 1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (10 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 10 x)}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\tan (10 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan (10 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 1.3.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x)}{\tan (10 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $8$ mit $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (10 x)]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 10 x$ .

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Schritt 3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [10 x]}$

Schritt 3.8.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [10 x]}$

Schritt 3.8.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]}$

Schritt 3.9

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) (10 \cdot 1)}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x) \cdot 10}$

Schritt 3.12

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{10 \cdot \sec^{2} (10 x)}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $10$ mit $\sec^{2} (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x)}{10 \sec^{2} (10 x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $10$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \cos (8 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{10 \sec^{2} (10 x)}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 \sec^{2} (10 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{2 (5 \sec^{2} (10 x))}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \cos (8 x))}{2 (5 \sec^{2} (10 x))}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (8 x)}{5 \sec^{2} (10 x)}$

Schritt 5

Ziehe den Term $\frac{4}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x)}{\sec^{2} (10 x)}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Schritt 8

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (10 x)}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (10 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (10 x))}^{2}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 10 x)}$

Schritt 11

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (10 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec^{2} (10 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec^{2} (10 \cdot 0)}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Kombinieren.

$\frac{4 \cos (8 \cdot 0)}{5 \sec^{2} (10 \cdot 0)}$

Schritt 13.2

Faktorisiere $\sec (10 \cdot 0)$ aus $\sec^{2} (10 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{4 \cos (8 \cdot 0)}{5 (\sec (10 \cdot 0) \sec (10 \cdot 0))}$

Schritt 13.3

Separiere Brüche.

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\sec (10 \cdot 0)}$

Schritt 13.4

Schreibe $\sec (10 \cdot 0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (8 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (10 \cdot 0)}}$

Schritt 13.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (10 \cdot 0)}$ zu dividieren.

$\frac{4}{5 (\sec (10 \cdot 0))} (\cos (8 \cdot 0) \cos (10 \cdot 0))$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (8 \cdot 0) \cos (10 \cdot 0))$

Schritt 13.7

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (0) \cos (10 \cdot 0))$

Schritt 13.8

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{4}{5 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Schritt 13.9

Separiere Brüche.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Schritt 13.10

Schreibe $\sec (0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

Schritt 13.11

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (0)}$ zu dividieren.

$\frac{4}{5} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

Schritt 13.12

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\frac{4}{5} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

Schritt 13.13

Multipliziere $\cos (0)$ mit $\cos (0)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.13.1

Bewege $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

Schritt 13.13.2

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} \cos^{2} (0) \cos (0)$

Schritt 13.14

Multipliziere $\cos^{2} (0)$ mit $\cos (0)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.14.1

Bewege $\cos (0)$ .

$\frac{4}{5} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

Schritt 13.14.2

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $\cos^{2} (0)$ .

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Schritt 13.14.2.1

Potenziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\frac{4}{5} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

Schritt 13.14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{5} {\cos (0)}^{1 + 2}$

Schritt 13.14.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4}{5} \cos^{3} (0)$

Schritt 13.15

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot 1^{3}$

Schritt 13.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4}{5} \cdot 1$

Schritt 13.17

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $1$ .

$\frac{4}{5}$