Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\tan (π lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (π \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Schritt 1.2.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x)}$

Schritt 1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Schritt 1.3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3.3

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) π}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren von $\sec^{2} (π x) π$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + x$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 3.7.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x}}$

Schritt 3.13

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{x + 1}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} π \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Schritt 5

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) (x + 1)$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (π x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$π {(lim_{x \to 0} \sec (π x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$π \sec^{2} (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Schritt 9

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (0 + 1)$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$π \sec^{2} (0) \cdot (0 + 1)$

Schritt 13.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$π \cdot 1^{2} \cdot (0 + 1)$

Schritt 13.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$π \cdot 1 \cdot (0 + 1)$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π \cdot (0 + 1)$

Schritt 13.5

Addiere $0$ und $1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 13.6

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$