Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2 π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2 π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.5

Berechne den Grenzwert von $4 π^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2 π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2 π$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2 π$ für $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2 π$ für $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2 π$ für $x$ .

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{2 π \cdot \sin (0) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.7.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{2 π \cdot 0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.7.1.3

Multipliziere $2 π \cdot 0$ .

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Schritt 1.2.7.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{0 π + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.7.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.7.1.4

Wende die Produktregel auf $2 π$ an.

$\frac{0 + 2^{2} π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.7.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0 + 4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $0$ und $4 π^{2}$ .

$\frac{4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.2.7.3

Subtrahiere $4 π^{2}$ von $4 π^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2 π$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - lim_{x \to 2 π} 2 π}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $2 π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2 π$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2 π$ für $x$ .

$\frac{0}{2 π - 2 π}$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $2 π$ von $2 π$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π} = lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.5

Da $- 4 π^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 π^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Addiere $x \cos (x) + \sin (x) + 2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2 π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

Schritt 3.9

Da $- 2 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + 0}$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1}$

Schritt 4

Dividiere $x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2 π$ annähert.

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2 π$ annähert.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Schritt 8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2 π$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2 π$ für $x$ .

$2 π \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2 π$ für $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2 π$ für $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2 π$ für $x$ .

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 π \cdot \cos (0) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 π \cdot 1 + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 π + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 π + 4 π + \sin (2 π)$

Schritt 11.1.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 π + 4 π + \sin (0)$

Schritt 11.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 π + 4 π + 0$

Schritt 11.2

Addiere $2 π$ und $4 π$ .

$6 π + 0$

Schritt 11.3

Addiere $6 π$ und $0$ .

$6 π$