Analysis Beispiele

$\int {(x + \sqrt{x})}^{2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x + \sqrt{x})}^{2}$ als $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ um.

$\int (x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (x + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Schritt 1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Schritt 1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Schritt 1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Schritt 1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Schritt 1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{1} d x$

Schritt 1.3.1.2.5

Vereinfache.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x d x$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{x} x$ um.

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + x \sqrt{x} + x d x$

Schritt 1.3.3

Addiere $x \sqrt{x}$ und $x \sqrt{x}$ .

$\int x \cdot x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Schritt 2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + 1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

Schritt 2.5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{2} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Schritt 2.6

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + x d x$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x d x$

Schritt 2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + x d x$

Schritt 2.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x d x$

Schritt 2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x d x$

Schritt 2.6.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{3}{2}} + x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C$