Analysis Beispiele

$\int \ln^{11} (x) \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 1

Kombiniere $\ln^{11} (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$\int \frac{\ln^{11} (x)}{x} d x$

Schritt 2

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{11} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{11}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{12} \ln^{12} (x) + C$