Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{- 2 \sqrt{y}}}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{e^{- 2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{e^{- 2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 1.3

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int e^{- 2 y^{\frac{1}{2}}} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int e^{- 2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{- 2 y^{\frac{1}{2}}} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 2

Sei $u = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$ , folglich $1 d u = - \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 2 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.1.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.1.11

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (y^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$- e^{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $- 2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$- e^{- 2 y^{\frac{1}{2}}} + C$