Analysis Beispiele

$\int \frac{{(x - 2)}^{3}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x - 2)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x - 2)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int {(x - 2)}^{3} x^{- 2} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x - 2$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 2)}^{- 2} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = u_{1} + 2$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $u_{1} + 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 2]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 2$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [2]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [2]$

Schritt 3.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {(u_{2} - 2)}^{3} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 4

Sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\int {(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{2}$ und ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Schritt 5.3

Bringe ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Schritt 5.4

Schreibe ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ als $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ um.

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 2)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Schritt 7.3

Bringe ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Schritt 7.4

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Schritt 7.4.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Schritt 7.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Schritt 7.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{2} \int ({({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{3} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.7

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.11

Bewege ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.12

Bewege ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.13

Bewege ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 (- 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.18

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.19

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

Schritt 8.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.21

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.23

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3 - 3}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.26

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{0}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.27

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.27.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 (0)}{2}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.27.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.27.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.27.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.27.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{0}{1}} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.27.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{0} + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.28

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + 3 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.29

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.30

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.32

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.33

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.33.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.33.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.34

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.35

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.36

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.37

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.38

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.39

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.40

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 6 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.41

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.42

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.43

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.44

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.45

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.45.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.45.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.45.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.45.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.45.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.45.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{- 1} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.46

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{- 1} + 4 \cdot - 2 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.47

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{- 1} - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.48

Stelle $1$ und $- 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ um.

$\frac{1}{2} \int - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 + 12 {u_{3}}^{- 1} - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.49

Bewege $1$ .

$\frac{1}{2} \int - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 12 {u_{3}}^{- 1} + 1 - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.50

Stelle $- 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ und $12 {u_{3}}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \int 12 {u_{3}}^{- 1} - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.51

Bewege $1$ .

$\frac{1}{2} \int 12 {u_{3}}^{- 1} - 6 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int 12 {u_{3}}^{- 1} - 6 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int 12 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - 6 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 11

Da $12$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (12 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - 6 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 12

Das Integral von ${u_{3}}^{- 1}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int - 6 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 13

Da $- 6$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 15

Da $- 8$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) - 8 \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) - 8 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int d u_{3})$

Schritt 17

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (12 (\ln (| u_{3} |) + C) - 6 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) - 8 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + u_{3} + C)$

Schritt 18

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (12 \ln (| u_{3} |) - 12 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} + u_{3}) + C$

Schritt 19

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 19.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| {u_{2}}^{2} |) - 12 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {u_{2}}^{2}) + C$

Schritt 19.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| {(u_{1} + 2)}^{2} |) - 12 {({(u_{1} + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(u_{1} + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(u_{1} + 2)}^{2}) + C$

Schritt 19.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| {(x - 2 + 2)}^{2} |) - 12 {({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 \ln (| {(x - 2 + 2)}^{2} |) - 12 {({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}$ .

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Schritt 20.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) - 12 {({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Schritt 20.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Schritt 20.1.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Schritt 20.1.4

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x - 2 + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Schritt 20.1.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Schritt 20.1.6

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 2 + 2)}^{2}) + C$

Schritt 20.1.7

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 0)}^{2}) + C$

Schritt 20.1.8

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (| x^{2} |) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 20.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x^{2 (\frac{1}{2})} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x^{2 (\frac{1}{2})} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x^{1} + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2.3

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 20.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 20.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{x^{2 (\frac{1}{2})}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{x^{2 (\frac{1}{2})}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{x^{1}} + x^{2}) + C$

Schritt 20.2.4.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2}) - 12 x + \frac{16}{x} + x^{2}) + C$

Schritt 20.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (12 \ln (x^{2})) + \frac{1}{2} (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4

Vereinfache.

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Schritt 20.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 \ln (x^{2})$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (6 \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (6 \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x$ heraus.

$6 \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (8)}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 8}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{8}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 20.4.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{8}{x} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 21

Stelle die Terme um.

$6 \ln (x^{2}) - 6 x + \frac{8}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$