Analysis Beispiele

$\int \frac{\frac{1}{2} x^{4} - x^{3} - 5 x - 7}{x + 2} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4} - {(u - 2)}^{3} - 5 (u - 2) - 7}{u} d u$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4}}{u} + \frac{- {(u - 2)}^{3}}{u} + \frac{- 5 (u - 2)}{u} + \frac{- 7}{u} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int \frac{- {(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 5 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 7}{u} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 5 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 7}{u} d u$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 7}{u} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 7}{u} d u$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 7

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} {(- 2)}^{2} + 4 u {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 {(- 2)}^{2}) + {(- 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) + {(- 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 (- 2 {(- 2)}^{2})}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.7

Bewege $u^{3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.8

Bewege $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.9

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + 4 u (- 2 \cdot - 2) \cdot - 2 - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.10

Bewege $u$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + (4 (- 2 \cdot - 2)) \cdot - 2 u - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.11

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + 4 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2) \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.12

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + 4 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.13

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} - 12 \cdot - 2 u^{2} + 4 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.14

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} + 4 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.15

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 8 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.16

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} + 16 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.17

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.18

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u + 4 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.19

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u - 8 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 8.20

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u + 16}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 9

Dividiere $u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u + 16$ durch $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

Schritt 9.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $u^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

$u^{3}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

Schritt 9.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$u^{3}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

Schritt 9.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u^{4} + 0$

				$u^{3}$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$

Schritt 9.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u^{3}$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$

Schritt 9.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$u^{3}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

Schritt 9.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 u^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

Schritt 9.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					-	$8 u^{3}$	+	$0$

Schritt 9.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 u^{3} + 0$

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$

Schritt 9.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$8 u^{3}$

$0$

$24 u^{2}$

Schritt 9.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$8 u^{3}$

$0$

$24 u^{2}$

$32 u$

Schritt 9.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $24 u^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$24 u$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$8 u^{3}$

$0$

$24 u^{2}$

$32 u$

Schritt 9.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$24 u$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$8 u^{3}$

$0$

$24 u^{2}$

$32 u$

$24 u^{2}$

$0$

Schritt 9.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $24 u^{2} + 0$

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$

Schritt 9.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$

Schritt 9.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$

Schritt 9.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 32 u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$	-	$32$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$

Schritt 9.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$	-	$32$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$
									-	$32 u$	+	$0$

Schritt 9.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 32 u + 0$

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$	-	$32$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$
									+	$32 u$	-	$0$

Schritt 9.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$	-	$32$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$
									+	$32 u$	-	$0$
											+	$16$

Schritt 9.21

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} \int u^{3} - 8 u^{2} + 24 u - 32 + \frac{16}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int u^{3} d u + \int - 8 u^{2} d u + \int 24 u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 8 u^{2} d u + \int 24 u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 12

Da $- 8$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 \int u^{2} d u + \int 24 u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 24 u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 14

Da $24$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 24 \int u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 24 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 24 (\frac{1}{2} u^{2} + C) - 32 u + C + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 17

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{1}{2} u^{2} + C) - 32 u + C + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 17.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 17.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 18

Da $16$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 19

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 20

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 21

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.4

Bewege $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.5

Bewege $u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} - 6 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u + 4 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 22.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 23

Dividiere $u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8$ durch $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$u^{3}$

$6 u^{2}$

$12 u$

$8$

Schritt 23.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $u^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$

Schritt 23.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			+	$u^{3}$	+	$0$

Schritt 23.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u^{3} + 0$

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$

Schritt 23.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$

Schritt 23.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

Schritt 23.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 u^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

Schritt 23.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					-	$6 u^{2}$	+	$0$

Schritt 23.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 u^{2} + 0$

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$

Schritt 23.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$

Schritt 23.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

Schritt 23.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

Schritt 23.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							+	$12 u$	+	$0$

Schritt 23.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 u + 0$

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$

Schritt 23.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$
									-	$8$

Schritt 23.16

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int u^{2} - 6 u + 12 - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 24

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\int u^{2} d u + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 25

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 26

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 27

Da $- 6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 \int u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 28

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 29

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 30

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 31

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - \int \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 32

Da $8$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - (8 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 33

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 34

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 35

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 36

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - (5 \int \frac{u - 2}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 37

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 \int \frac{u - 2}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 38

Dividiere $u - 2$ durch $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 38.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$u$

$2$

Schritt 38.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$2$

Schritt 38.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			+	$u$	+	$0$

Schritt 38.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$

Schritt 38.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$
					-	$2$

Schritt 38.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 \int 1 - \frac{2}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 39

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (\int d u + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 40

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 41

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 42

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - (2 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 43

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 44

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{7}{u} d u$

Schritt 45

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{7}{u} d u$

Schritt 46

Da $7$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - (7 \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 47

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 7 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 48

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 7 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 49

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 49.1

Vereinfache.

$\frac{u^{4}}{8} - \frac{4 u^{3}}{3} + 6 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) - \frac{u^{3}}{3} + 3 u^{2} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 49.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{u^{4}}{8} + 6 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) + \frac{- 4 u^{3} - u^{3}}{3} + 3 u^{2} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2.2

Subtrahiere $u^{3}$ von $- 4 u^{3}$ .

$\frac{u^{4}}{8} + 6 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) + \frac{- 5 u^{3}}{3} + 3 u^{2} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{u^{4}}{8} + 6 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) - \frac{5 u^{3}}{3} + 3 u^{2} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2.4

Addiere $6 u^{2}$ und $3 u^{2}$ .

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) - \frac{5 u^{3}}{3} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2.5

Subtrahiere $12 u$ von $- 16 u$ .

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 28 u + 8 \ln (| u |) - \frac{5 u^{3}}{3} + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2.6

Addiere $8 \ln (| u |)$ und $8 \ln (| u |)$ .

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 28 u - \frac{5 u^{3}}{3} + 16 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2.7

Subtrahiere $5 u$ von $- 28 u$ .

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 33 u - \frac{5 u^{3}}{3} + 16 \ln (| u |) + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2.8

Addiere $16 \ln (| u |)$ und $10 \ln (| u |)$ .

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 33 u - \frac{5 u^{3}}{3} + 26 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

Schritt 49.2.9

Subtrahiere $7 \ln (| u |)$ von $26 \ln (| u |)$ .

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 33 u - \frac{5 u^{3}}{3} + 19 \ln (| u |) + C$

Schritt 50

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4}}{8} + 9 {(x + 2)}^{2} - 33 (x + 2) - \frac{5 {(x + 2)}^{3}}{3} + 19 \ln (| x + 2 |) + C$

Schritt 51

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{8} {(x + 2)}^{4} + 9 {(x + 2)}^{2} - 33 (x + 2) - \frac{5}{3} {(x + 2)}^{3} + 19 \ln (| x + 2 |) + C$