Analysis Beispiele

$\int {(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2}$ als $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ um.

$\int (\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{a}$ mit $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{a}$ mit $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{a}}^{2}$ als $a$ um.

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Schritt 1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{a}$ als $a^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.2.5

Vereinfache.

$\int a + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int a - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Schritt 1.3.1.6

Multipliziere $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

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Schritt 1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Schritt 1.3.1.6.2

Mutltipliziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Schritt 1.3.1.6.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Schritt 1.3.1.6.4

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Schritt 1.3.1.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Schritt 1.3.1.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.3.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Schritt 1.3.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Schritt 1.3.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.3.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.3.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{1} d x$

Schritt 1.3.1.7.5

Vereinfache.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x d x$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $\sqrt{a x}$ von $- \sqrt{x a}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Stelle $x$ und $a$ um.

$\int a - \sqrt{a x} - \sqrt{a x} + x d x$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $\sqrt{a x}$ von $- \sqrt{a x}$ .

$\int a - 2 \sqrt{a x} + x d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int a d x + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$a x + C + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Schritt 4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$a x + C - 2 \int \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Schritt 5

Sei $u = a x$ . Dann ist $d u = a d x$ , folglich $\frac{1}{a} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = a x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $a x$ .

$\frac{d}{d x} [a x]$

Schritt 5.1.2

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$a x + C - 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u + \int x d x$

Schritt 6

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{a}$ .

$a x + C - 2 \int \frac{\sqrt{u}}{a} d u + \int x d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{a}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{a}$ aus dem Integral.

$a x + C - 2 (\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u) + \int x d x$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{a}$ und $- 2$ .

$a x + C + \frac{- 2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Schritt 8.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a x + C - \frac{2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Schritt 8.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a x + C - \frac{2}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int x d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$a x - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $a x$ .

$a x - \frac{4 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$