Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x - 1}{\sqrt{5 - 3 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3}$ positiv ist.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{1} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{15}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kombiniere $\frac{\sqrt{15}}{3}$ und $\sin (t)$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{15} \sin (t)}{3})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{15} \sin (t)}{3}$ an.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{(\sqrt{15} \sin (t))}^{2}}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{15} \sin (t)$ an.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{\sqrt{15}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.7

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 2.1.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{1} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15 \sin^{2} (t)}{9}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.9.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 (- 1) \frac{15 \sin^{2} (t)}{9}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.9.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 \cdot - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 \cdot - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

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Schritt 2.1.1.10.1

Faktorisiere $3$ aus $15 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{5 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.10.2.4

Dividiere $5 \sin^{2} (t)$ durch $1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 (5 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.11

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1) - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.6

Stelle $5$ und $\cos^{2} (t)$ um.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ und $\sin (t)$ .

$\int \frac{2 \frac{\sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{\frac{2 (\sqrt{5} \sin (t))}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\int \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.4

Kombinieren.

$\int \frac{\sqrt{3} (\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1)}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{\sqrt{3} \frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sqrt{3} \frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - 1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.8

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{5 \cdot 3} \cos (t)} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{15} \cos (t)} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

Schritt 2.2.11

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{15} \cos (t)}$ mit $\frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3}$ .

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) (\sqrt{15} \cos (t))}{\sqrt{15} \cos (t) \cdot 3} d t$

Schritt 2.2.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{15} \cos (t)$ .

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \sqrt{15} \cos (t)}{3 \cdot (\sqrt{15} \cos (t))} d t$

Schritt 2.2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{15}$ .

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Schritt 2.2.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \sqrt{15} \cos (t)}{3 \sqrt{15} \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.13.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \cos (t)}{3 \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \cos (t)}{3 \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{3} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int 2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3} d t$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} (\int 2 \sqrt{5} \sin (t) d t + \int - \sqrt{3} d t)$

Schritt 5

Da $2 \sqrt{5}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2 \sqrt{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} \int \sin (t) d t + \int - \sqrt{3} d t)$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} (- \cos (t) + C) + \int - \sqrt{3} d t)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} (- \cos (t) + C) - \sqrt{3} t + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \cos (t) - \sqrt{3} t) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \cos (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{\sqrt{5} \sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.9.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.9.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.10

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 10.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{2}{2}}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{2}{2}}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.11

Multipliziere $(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.12

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)$ .

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Schritt 10.1.12.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sqrt{5} (- \sqrt{3} x)$ und $\sqrt{3} x \sqrt{5}$ neu an.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} - x \sqrt{3} \sqrt{5} + x \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.12.2

Addiere $- x \sqrt{3} \sqrt{5}$ und $x \sqrt{3} \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + 0 + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.12.3

Addiere $\sqrt{5} \sqrt{5}$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{25} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} x \cdot x}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1.13.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} (x \cdot x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 1 \cdot \sqrt{3} \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.8

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - \sqrt{3} \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.9

Multipliziere $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 10.1.13.9.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.9.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {\sqrt{3}}^{1 + 1} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {\sqrt{3}}^{2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.10

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 10.1.13.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{2}{2}} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.13.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{2}{2}} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{1} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.10.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 1 \cdot 3 x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.13.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3 x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.14

Schreibe $\sqrt{\frac{5 - 3 x^{2}}{5}}$ als $\frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ um.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{5}$ .

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Schritt 10.1.15.1

Faktorisiere $\sqrt{5}$ aus $- 2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{1}{3} (\sqrt{5} \cdot - 2 \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\sqrt{5} \cdot - 2 \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}) + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}})$ .

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} \sqrt{5 - 3 x^{2}} + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.3.2

Kombiniere $\frac{- 2}{3}$ und $\sqrt{5 - 3 x^{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

Schritt 10.4

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}))$ .

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Schritt 10.4.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) + C$

Schritt 10.4.2

Kombiniere $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} - \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Schritt 10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Schritt 10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}$ heraus.

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Schritt 10.6.1

Stelle $5$ und $- 3 x^{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Schritt 10.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}$ heraus.

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Schritt 10.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})}{3} + C$

Schritt 10.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})}{3} + C$

Schritt 10.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} x) \sqrt{3}) + C$