Analysis Beispiele

$\int {(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int \sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $x = 4 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 4 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sin (t)$ an.

$\int \sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\int \sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\int \sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$\int \sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $16$ aus $- 16 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Wende die Produktregel auf $16 \cos^{2} (t)$ an.

$\int \sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Potenziere $16$ mit $3$ .

$\int \sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Schritt 3.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \sqrt{4096 \cos^{6} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.9

Schreibe $4096 \cos^{6} (t)$ als ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 64 \cos^{3} (t) (4 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\int 256 \cos^{3} (t) \cos (t) d t$

Schritt 3.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int 256 (\cos^{1} (t) \cos^{3} (t)) d t$

Schritt 3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 256 {\cos (t)}^{1 + 3} d t$

Schritt 3.2.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\int 256 \cos^{4} (t) d t$

Schritt 4

Da $256$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $256$ aus dem Integral.

$256 \int \cos^{4} (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$256 \int {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Schritt 5.2

Schreibe ${\cos (t)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$256 \int {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$256 \int {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Schritt 7

Sei $u_{1} = 2 t$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{1} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$256 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$256 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Schritt 9

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $256$ .

$\frac{256}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $256$ und $2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $256$ heraus.

$\frac{2 \cdot 128}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{128}{1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.1.2.2.4

Dividiere $128$ durch $1$ .

$128 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.2

Schreibe $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ als ein Produkt um.

$128 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Schritt 9.3

Multipliziere ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ aus.

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Schritt 9.3.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Schritt 9.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.7

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.8

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.9

Bewege $\frac{1}{2}$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.10

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.11

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.12

Bewege $\cos (u_{1})$ .

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.13

Stelle $\frac{1}{2}$ und $1$ um.

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 9.3.14

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$128 \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$128 \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.16

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.18

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.19

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.20

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.21

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.22

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.23

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.24

Mutltipliziere $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.25

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.26

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.27

Mutltipliziere $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.28

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9.3.29

Kombiniere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ und $\cos (u_{1})$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.30

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.31

Potenziere $\cos (u_{1})$ mit $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.32

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.33

Addiere $1$ und $1$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.34

Addiere $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ und $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.35

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ .

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.36

Stelle $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ um.

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.3.37

Stelle $\frac{1}{4}$ und $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ um.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (u_{1})$ heraus.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

Schritt 9.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$128 (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 11

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$128 (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 12

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$128 (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$128 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$128 (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$128 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 15

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$128 (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 17

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 17.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 17.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 17.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 17.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 17.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 17.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 18

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 19

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 20

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 21

Wende die Konstantenregel an.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 22

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u_{1}$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 23

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 24

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

Schritt 25

Vereinfache.

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Schritt 25.1

Vereinfache.

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 25.2

Vereinfache.

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Schritt 25.2.1

Um $\frac{u_{1}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 25.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 25.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{u_{1}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 25.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 25.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$128 (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 25.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$128 (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 25.2.5

Addiere $u_{1}$ und $2 u_{1}$ .

$128 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

Schritt 26

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 26.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 t$ .

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Schritt 26.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

Schritt 26.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 26.4

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 t$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 t))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 26.5

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 27

Vereinfache.

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Schritt 27.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 27.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 27.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ heraus.

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 27.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 27.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 27.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 27.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$128 (\frac{3 (\arcsin (\frac{x}{4}))}{4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 27.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$128 (\frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

Schritt 27.2

Wende das Distributivgesetz an.

$128 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3

Vereinfache.

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Schritt 27.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 27.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $128$ heraus.

$4 (32) \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 32 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$32 (3 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 27.3.3.1

Faktorisiere $16$ aus $128$ heraus.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 (8) \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 \cdot 8 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 27.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $128$ heraus.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 (64) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 \cdot 64 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

Schritt 27.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Schritt 28

Stelle die Terme um.

$96 \arcsin (\frac{1}{4} x) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$