Analysis Beispiele

$\int \frac{10 z^{4} - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 z^{4} - 20$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 z^{4}$ heraus.

$\int \frac{10 (z^{4}) - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $10$ aus $- 20$ heraus.

$\int \frac{10 z^{4} + 10 \cdot - 2}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $10$ aus $10 z^{4} + 10 \cdot - 2$ heraus.

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Schritt 1.2

Faktorisiere $z$ aus $z^{5} - 10 z$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $z$ aus $z^{5}$ heraus.

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} - 10 z}} d z$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $z$ aus $- 10 z$ heraus.

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} + z \cdot - 10}} d z$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $z$ aus $z \cdot z^{4} + z \cdot - 10$ heraus.

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Schritt 2

Da $10$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int \frac{z^{4} - 2}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Schritt 3

Sei $u = z (z^{4} - 10)$ . Dann ist $d u = (5 z^{4} - 10) d z$ , folglich $\frac{1}{5} d u = (z^{4} - 2) d z$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = z (z^{4} - 10)$ . Ermittle $\frac{d u}{d z}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $z (z^{4} - 10)$ .

$\frac{d}{d z} [z (z^{4} - 10)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = z$ und $g (z) = z^{4} - 10$ .

$z \frac{d}{d z} [z^{4} - 10] + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.1.3

Differenziere.

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Schritt 3.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z^{4} - 10$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]$ .

$z (\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$z (4 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.1.3.3

Da $- 10$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$z (4 z^{3} + 0) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.1.3.4

Addiere $4 z^{3}$ und $0$ .

$z (4 z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.1.4

Potenziere $z$ mit $1$ .

$4 (z^{1} z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 z^{1 + 3} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.1.6

Addiere $1$ und $3$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Schritt 3.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \cdot 1$

Schritt 3.1.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.8.1

Mutltipliziere $z^{4} - 10$ mit $1$ .

$4 z^{4} + z^{4} - 10$

Schritt 3.1.8.2

Addiere $4 z^{4}$ und $z^{4}$ .

$5 z^{4} - 10$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 5} d u$

Schritt 4.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$10 \int \frac{1}{5 \sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $10$ .

$\frac{10}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 \cdot 2}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 6.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 6.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 6.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $z (z^{4} - 10)$ .

$4 {(z (z^{4} - 10))}^{\frac{1}{2}} + C$