Analysis Beispiele

$\int (\tan^{3} (x) + \tan^{5} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{3} d u + \int u^{5} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{5} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{1}{4} \tan^{4} (x) + \frac{1}{6} \tan^{6} (x) + C$