Analysis Beispiele

$\int (x^{2} + 1) e^{2 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2} + 1$ und $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x$

Schritt 2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ und $x$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Schritt 2.5.2

Dividiere $e^{2 x} x$ durch $1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Schritt 6

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe $(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Schritt 11.2.2

Um $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 11.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 x}}{4}$ in den Zähler.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.4.2

Multipliziere $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

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Schritt 13.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{2 x}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.5

Um $- x e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.6

Kombiniere $- x e^{2 x}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.8.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 13.8.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- x e^{2 x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.8.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.8.1.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.10

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.12

Schreibe $- (2 x - 1)$ als $- 1 (2 x - 1)$ um.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 13.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$