Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{2 y} - \frac{2}{y^{2}} + \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{2 y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{2}} d y) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 6.2

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 9.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Schritt 9.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 \int y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C) - 2 (- y^{- 1} + C) + 3 (2 y^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 3 (2 y^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) + \frac{2}{y} + 6 y^{\frac{1}{2}} + C$