Analysis Beispiele

$\int \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{6}{x} d x + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 4} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 7.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$6 \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{3}} + C$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \ln (| x |) - \frac{1}{x^{3}} + C$