Analysis Beispiele

$\int (t + 1) \sqrt{3 t + 1} d t$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t + 1$ und $d v = \sqrt{3 t + 1}$ .

$(t + 1) (\frac{2}{9} {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und ${(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{9}$ und ${(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} d t$

Schritt 3

Da $\frac{2}{9}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{2}{9}$ aus dem Integral.

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}} d t)$

Schritt 4

Sei $u = 3 t + 1$ . Dann ist $d u = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 3 t + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t + 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Kombiniere $u^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{9}$ .

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $(t + 1) \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}})}{9} + \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ um.

$\frac{t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}})}{9} + \frac{2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{2}{27}$ .

$\frac{t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5 \cdot 27} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 27} + C$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $27$ .

$\frac{t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $3 t + 1$ .

$\frac{t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4 {(3 t + 1)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{9} (t (2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 {(3 t + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{135} {(3 t + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$