Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{e}}{x^{4}} + \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{\sqrt{e}}{x^{4}} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Da $\sqrt{e}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\sqrt{e}$ aus dem Integral.

$\sqrt{e} \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\sqrt{e} \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{e} \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\sqrt{e} \int x^{- 4} d x + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int \frac{π}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $π$ aus dem Integral.

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{e} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + π (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$- \frac{\sqrt{e}}{3 x^{3}} + π (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$- \frac{\sqrt{e}}{3 x^{3}} + 2 π x^{\frac{1}{2}} + C$