Analysis Beispiele

$\int (4 x - 12) e^{- 8 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 4 x - 12$ und $d v = e^{- 8 x}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $e^{- 8 x}$ und $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} \cdot 4 d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{- 8 x}$ und $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} \cdot 4 d x$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - 4 \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{- 4 e^{- 8 x}}{8} d x$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $8$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 e^{- 8 x}$ heraus.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{8} d x$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{4 (2)} d x$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{4 (- e^{- 8 x})}{4 \cdot 2} d x$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int \frac{- e^{- 8 x}}{2} d x$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - - \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$ mit $1$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \int \frac{e^{- 8 x}}{2} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{- 8 x} d x$

Schritt 6

Sei $u = - 8 x$ . Dann ist $d u = - 8 d x$ , folglich $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = - 8 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Schritt 6.1.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{8} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{2 \cdot 8} \int e^{u} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Schreibe $(4 x - 12) (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ als $\frac{x (- e^{- 8 x})}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ um.

$\frac{x (- e^{- 8 x})}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Schritt 12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $- 8 x$ .

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{1}{16} e^{- 8 x} + C$

Schritt 14

Kombiniere $e^{- 8 x}$ und $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{x e^{- 8 x}}{2} + \frac{3 e^{- 8 x}}{2} - \frac{e^{- 8 x}}{16} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} x e^{- 8 x} + \frac{3}{2} e^{- 8 x} - \frac{1}{16} e^{- 8 x} + C$