Analysis Beispiele

$\int 8 \sqrt[4]{x^{3}} + \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 8 \sqrt[4]{x^{3}} d x + \int \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Schritt 2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \sqrt[4]{x^{3}} d x + \int \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$8 \int x^{\frac{3}{4}} d x + \int \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$8 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + \int \frac{9}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Schritt 5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$8 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + 9 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + x$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$8 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + 9 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$8 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C) + 9 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + x$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x^{\frac{7}{4}}$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + x$

Schritt 6.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + x$

Schritt 6.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + x$

Schritt 6.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 \int x^{- \frac{1}{3}} d x + x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 (\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) + 9 (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C) + x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{32 x^{\frac{7}{4}}}{7} + \frac{27 x^{\frac{2}{3}}}{2} + x + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{32}{7} x^{\frac{7}{4}} + \frac{27}{2} x^{\frac{2}{3}} + x + C$