Analysis Beispiele

$\int 9 t^{2} + \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 9 t^{2} d t + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Schritt 2

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int t^{2} d t + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int \frac{1}{\sqrt{t^{3}}} d t$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t^{3}}$ als $t^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} d t$

Schritt 4.2

Bringe $t^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$9 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 4.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d t$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d t$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{\frac{- 3}{2}} d t$

Schritt 4.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) + \int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{t^{3}}{3} + C) - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 6

Vereinfache.

$3 t^{3} - 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$