Analysis Beispiele

$\int x^{5} + \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{5} d x + \int \sqrt[5]{x^{3}} d x + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int \sqrt[5]{x^{3}} d x + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int x^{\frac{3}{5}} d x + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C + \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C + \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C + \int x^{- 3} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} + C - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{6} x^{6} + \frac{5}{8} x^{\frac{8}{5}} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$