Analysis Beispiele

$\int (1 - \cos (\frac{x}{2})) \sin (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1})$ .

$\int 2 (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \int - 1 + u_{2} d u_{2}$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int - 1 d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$2 (- u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$2 (- u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Schritt 9

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 9.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (u_{1})$ .

$2 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (u_{1})) + C$

Schritt 9.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (\frac{x}{2})) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2}) + C$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \cos (\frac{x}{2})) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Schritt 10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- 2 \cos (\frac{1}{2} x) + \cos^{2} (\frac{1}{2} x) + C$