Analysis Beispiele

$\int 2 e^{2 y} - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 2 y$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 4

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ mit $1$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Schritt 8

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{- 2 y} d y$

Schritt 9

Sei $u_{2} = - 2 y$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = - 2 y$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 9.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 10.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{u_{1}} + C - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$e^{u_{1}} + C + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{u_{1}} + C + 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{u_{1}} + C + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$e^{u_{1}} + C + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 15

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{1}} + C + e^{u_{2}} + C$

Schritt 16

Vereinfache.

$e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$e^{2 y} + e^{u_{2}} + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 y$ .

$e^{2 y} + e^{- 2 y} + C$