Analysis Beispiele

$\int (2 x + 3) \sqrt{2 x - 1} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 2 x + 3$ und $d v = \sqrt{2 x - 1}$ .

$(2 x + 3) (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 2 d x$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $2$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} d x$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Kombiniere $u^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $(2 x + 3) \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ um.

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Um ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 9.2.5

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

Schritt 9.2.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} (x (2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C$