Analysis Beispiele

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{2} + b x + c$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{2}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b x$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.4

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 a x + b + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2 a x + b$ und $0$ .

$2 a x + b$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = b + 2 a x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $b + 2 a x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$

Schritt 2.1.2

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 a x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 a x$ nach $x$ gleich $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 a \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 a \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2 a$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $2 a$ .

$f'' (x) = 2 a$

Schritt 3

Da $2 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 0$

Schritt 4

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $0$ .

$0$