Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + 2 x - 8}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x$ und $g (x) = x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 8]}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2 + 0)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2) + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 2 x - 8) (2 x - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.2.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 8 (2 x) - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 8 \cdot - 2 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 16 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.4

Subtrahiere $16 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} - (- 2 x)) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 + (- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.6

Multipliziere $(- x^{2} + 2 x) (2 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x + 2) + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x + 2)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.2.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.7.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.7.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1.7.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 2 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.7.1.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.7.2

Addiere $- 2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 16 - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 0 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Addiere $2 x^{2} - 20 x + 16$ und $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 20 x + 16 + 2 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Addiere $2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 16 + 4 x}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.4

Addiere $- 20 x$ und $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 16 x + 16$ heraus.

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Schritt 1.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ heraus.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.3.3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} + 2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $2$ ist.

$- 2, 4$

Schritt 1.3.4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{((x - 2) (x + 4))}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Wende die Produktregel auf $(x - 2) (x + 4)$ an.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ als ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ als ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ um.

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$- 8 (- 3 {(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$24 ({(x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} (1 + 0)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4} \cdot 1$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$24 {(x + 4)}^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $24$ und $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{24}{{(x + 4)}^{4}}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$ als ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ um.

$24 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{4})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 4}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$24 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$24 (- 4 {(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $24$ .

$- 96 ({(x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 4.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} (1 + 0)$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5} \cdot 1$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $- 96$ mit $1$ .

$- 96 {(x + 4)}^{- 5}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 96 \frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $- 96$ und $\frac{1}{{(x + 4)}^{5}}$ .

$\frac{- 96}{{(x + 4)}^{5}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$ .

$- \frac{96}{{(x + 4)}^{5}}$