Analysis Beispiele

$2 \sin (x) + \frac{1}{2} x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \cos (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \cos (x) + \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \cos (x) + \frac{2}{2} x$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$2 \cos (x) + \frac{2 x}{2}$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos (x) + \frac{2 x}{2}$

Schritt 1.3.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$2 \cos (x) + x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x + 2 \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 - 2 \cos (x)$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2 \cos (x)$ von $0$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x)$