Analysis Beispiele

$f (x) = e^{9 x} + 7 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{9 x} + 7 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x$ .

$e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{9 x} (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.2.5

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 x}$ .

$9 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$9 e^{9 x} + 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 1.3.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 1.3.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 e^{9 x} + 7 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 1.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 1.3.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Schritt 1.3.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Schritt 1.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Schritt 1.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) + 7 (- \sin^{2} (x))$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f' (x) = 9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) - 7 \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) - 7 \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 e^{9 x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $9 x$ .

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$9 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $9 x$ .

$9 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (e^{9 x} (9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 (e^{9 x} \cdot 9) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 x}$ .

$9 (9 \cdot e^{9 x}) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$81 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$81 e^{9 x} + 7 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$81 e^{9 x} + 7 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$81 e^{9 x} + 7 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 14 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Stelle die Faktoren von $- 14 \sin (x) \cos (x)$ um.

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 14 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.5.1.2

Subtrahiere $14 \cos (x) \sin (x)$ von $- 14 \cos (x) \sin (x)$ .

$81 e^{9 x} - 28 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 28 \cos (x) \sin (x) + 81 e^{9 x}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 28 \cos (x) \sin (x) + 81 e^{9 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $- 28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 28 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 28 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 28 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.2

$- 28 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 28 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 28 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 28 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 28 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 28 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 28 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81 e^{9 x}$ nach $x$ gleich $81 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

Schritt 3.3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} (9 \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} \cdot 9)$

Schritt 3.3.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 x}$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (9 \cdot e^{9 x})$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $9$ mit $81$ .

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 729 e^{9 x}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 28 \cos^{2} (x) - 28 (- \sin^{2} (x)) + 729 e^{9 x}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 28$ .

$- 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x) + 729 e^{9 x}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = 729 e^{9 x} - 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $729 e^{9 x} - 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $729$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $729 e^{9 x}$ nach $x$ gleich $729 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$729 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $9 x$ .

$729 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$729 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $9 x$ .

$729 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$729 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$729 (e^{9 x} (9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$729 (e^{9 x} \cdot 9) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 x}$ .

$729 (9 \cdot e^{9 x}) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $9$ mit $729$ .

$6561 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 28 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- 28 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$6561 e^{9 x} - 28 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6561 e^{9 x} - 28 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 28$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

Schritt 4.4

Berechne $\frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28 \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $28 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.4.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4.4.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $28$ .

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 56 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 4.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.1

Stelle die Faktoren von $56 \sin (x) \cos (x)$ um.

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 56 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4.5.1.2

Addiere $56 \cos (x) \sin (x)$ und $56 \cos (x) \sin (x)$ .

$6561 e^{9 x} + 112 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4.5.2

Stelle die Terme um.

$f^{4} (x) = 112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$ .

$112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$