Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3} (x^{2} - 4)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (x^{2} - 4)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x^{3} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$3 (x^{3} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{1} x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (x^{1 + 3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$3 (x^{4} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$3 (2 \cdot x^{4} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (2 x^{4} + (x^{2} - 4) (3 x^{2}))$

Schritt 1.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4$ .

$3 (2 x^{4} + 3 \cdot (x^{2} - 4) x^{2})$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x^{4} + (3 x^{2} + 3 \cdot - 4) x^{2})$

Schritt 1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x^{4} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 4 x^{2})$

Schritt 1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x^{4}) + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Schritt 1.8.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.8.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2} x^{2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Schritt 1.8.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.8.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 3 (3 (x^{2} x^{2})) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Schritt 1.8.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{4} + 3 (3 x^{2 + 2}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Schritt 1.8.4.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$6 x^{4} + 3 (3 x^{4}) + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Schritt 1.8.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (3 \cdot - 4 x^{2})$

Schritt 1.8.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} + 3 (- 12 x^{2})$

Schritt 1.8.4.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$6 x^{4} + 9 x^{4} - 36 x^{2}$

Schritt 1.8.4.6

Addiere $6 x^{4}$ und $9 x^{4}$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 36 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{4} - 36 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{4}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$60 x^{3} - 36 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 72 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $60 x^{3} - 72 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x^{3}$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 72 x$ nach $x$ gleich $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$180 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$180 x^{2} - 72 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 72$ mit $1$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} - 72$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $180 x^{2} - 72$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $180$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $180 x^{2}$ nach $x$ gleich $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$180 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $180$ .

$360 x + \frac{d}{d x} [- 72]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $- 72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 72$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$360 x + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $360 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 360 x$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $360 x$ .

$360 x$