Analysis Beispiele

$y = 3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{3})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 3 x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3 x$ .

$f' (x) = 3 (3 {(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x))$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3 x))$

Schritt 1.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \cdot 1)$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3))$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 3) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Schritt 2.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + 0) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \cdot 2 + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 3 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = 9 (2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 3 x$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 3 x$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x + 3$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 \cdot ((2 x + 3) (x^{2} + 3 x)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Schritt 2.5.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1))$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3))$

Schritt 2.6

Potenziere $2 x + 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

Schritt 2.7

Potenziere $2 x + 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2}) + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 2.10.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 ({(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

Schritt 2.10.4

Faktorisiere $18 (x^{2} + 3 x)$ aus $18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ heraus.

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Schritt 2.10.4.1

Faktorisiere $18 (x^{2} + 3 x)$ aus $18 {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$

Schritt 2.10.4.2

Faktorisiere $18 (x^{2} + 3 x)$ aus $18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ heraus.

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$

Schritt 2.10.4.3

Faktorisiere $18 (x^{2} + 3 x)$ aus $18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$ heraus.

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Schritt 2.10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 18 (3 x)) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Schritt 2.10.6

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

Schritt 2.10.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.7.1

Schreibe ${(2 x + 3)}^{2}$ als $(2 x + 3) (2 x + 3)$ um.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + (2 x + 3) (2 x + 3))$

Schritt 2.10.7.2

Multipliziere $(2 x + 3) (2 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))$

Schritt 2.10.7.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))$

Schritt 2.10.7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Schritt 2.10.7.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.7.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Schritt 2.10.7.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.7.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Schritt 2.10.7.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Schritt 2.10.7.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Schritt 2.10.7.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

Schritt 2.10.7.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)$

Schritt 2.10.7.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)$

Schritt 2.10.7.3.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 12 x + 9)$

Schritt 2.10.8

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 3 x + 12 x + 9)$

Schritt 2.10.9

Addiere $3 x$ und $12 x$ .

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$

Schritt 2.10.10

Multipliziere $(18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = 18 x^{2} (5 x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2} x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.11.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 18 \cdot (5 (x^{2} x^{2})) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2 + 2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{4}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.3

Mutltipliziere $18$ mit $5$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{2} x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.11.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.10.11.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{1 + 2}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{3}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.6

Mutltipliziere $18$ mit $15$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.7

Mutltipliziere $9$ mit $18$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x \cdot x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.9

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.11.9.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.9.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.10.11.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{2 + 1}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{3}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.10

Mutltipliziere $54$ mit $5$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x \cdot x) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.12

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.11.12.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 (x \cdot x)) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x^{2}) + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.13

Mutltipliziere $54$ mit $15$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 54 x \cdot 9$

Schritt 2.10.11.14

Mutltipliziere $9$ mit $54$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 486 x$

Schritt 2.10.12

Addiere $270 x^{3}$ und $270 x^{3}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 162 x^{2} + 810 x^{2} + 486 x$

Schritt 2.10.13

Addiere $162 x^{2}$ und $810 x^{2}$ .

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [540 x^{3}] + \frac{d}{d x} [972 x^{2}] + \frac{d}{d x} [486 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (90 x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [90 x^{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $90$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $90 x^{4}$ nach $x$ gleich $90 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f''' (x) = 90 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f''' (x) = 90 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $90$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [540 x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $540$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $540 x^{3}$ nach $x$ gleich $540 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $540$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [972 x^{2}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $972$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $972 x^{2}$ nach $x$ gleich $972 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 (2 x) + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $972$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + \frac{d}{d x} (486 x)$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [486 x]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $486$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $486 x$ nach $x$ gleich $486 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \cdot 1$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $486$ mit $1$ .

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1620 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1944 x] + \frac{d}{d x} [486]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (360 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [360 x^{3}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $360$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $360 x^{3}$ nach $x$ gleich $360 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f^{4} (x) = 360 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 360 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $360$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [1620 x^{2}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $1620$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1620 x^{2}$ nach $x$ gleich $1620 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 (2 x) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1620$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.4

Berechne $\frac{d}{d x} [1944 x]$ .

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Schritt 4.4.1

Da $1944$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1944 x$ nach $x$ gleich $1944 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $1944$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + \frac{d}{d x} (486)$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.5.1

Da $486$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $486$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $1080 x^{2} + 3240 x + 1944$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944$