Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Schritt 1.4.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 1.4.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 4 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \cos (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 \sin (2 x) - 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 4 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 8 \cos (2 x) - 2 (- \sin (x))$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 \cos (2 x) + 2 \sin (x)$