Analysis Beispiele

$y = \ln (3 x^{2} + 1)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (6 x + 0)$

Schritt 1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 1} (6 x)$

Schritt 1.2.6.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3 x^{2} + 1}$ .

$\frac{6}{3 x^{2} + 1} x$

Schritt 1.2.6.3

Kombiniere $\frac{6}{3 x^{2} + 1}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 1}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

$6 \frac{(3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{(3 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $3 x^{2} + 1$ mit $1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (6 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.8.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$6 \frac{3 x^{2} + 1 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$6 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Kombiniere $6$ und $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.3

Faktorisiere $6$ aus $- 18 x^{2} + 6$ heraus.

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Schritt 2.10.3.1

Faktorisiere $6$ aus $- 18 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.3.2

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 (1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (- 3 x^{2}) + 6 (1)$ heraus.

$\frac{6 (- 3 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{6 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{6 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{6 (- (3 x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 1)$ als $- 1 (3 x^{2} - 1)$ um.

$\frac{6 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6 (3 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(3 x^{2} + 1)}^{2}}]$

Schritt 3.2

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$- 6 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.7.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 6 \frac{6 \cdot {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - (3 x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - (3 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (6 x + 0))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.7.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) (6 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.7.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.7.2.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $3 x^{2} + 1$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (3 x^{2} - 1) (6 \cdot (3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.7.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$- 6 \frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 12 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.7.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 12 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 12 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x - 12 (3 x^{2} - 1) ((3 x^{2} + 1) x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) ((3 x^{2} + 1) x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x + (- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (6 {(3 x^{2} + 1)}^{2} x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.4.1.1

Schreibe ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ als $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ um.

$- \frac{6 (6 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.2

Multipliziere $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (6 (3 x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1)) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (6 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2} + 1)) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (6 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.4.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{6 (6 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.4.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- \frac{6 (6 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 (6 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{6 (6 (3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3.1.5

Mutltipliziere $3 x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.3.2

Addiere $3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$- \frac{6 (6 (9 x^{4} + 6 x^{2} + 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 ((6 (9 x^{4}) + 6 (6 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$- \frac{6 ((54 x^{4} + 6 (6 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- \frac{6 ((54 x^{4} + 36 x^{2} + 6 \cdot 1) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.5.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- \frac{6 ((54 x^{4} + 36 x^{2} + 6) x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (54 x^{4} x + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.7.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$- \frac{6 (54 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{6 (54 (x^{1} x^{4}) + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 (54 x^{1 + 4} + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 x^{2} x + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 (x^{1} x^{2}) + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 x^{1 + 2} + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{6 (54 x^{5} + 36 x^{3} + 6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{6 (54 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) + 6 (6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.9.1

Mutltipliziere $54$ mit $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 6 (36 x^{3}) + 6 (6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.9.2

Mutltipliziere $36$ mit $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 6 (6 x) + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.9.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 12 (3 x^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} - 12 \cdot - 1) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.10.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 x^{2} x + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.11

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.11.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.11.1.1

Bewege $x$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 (x \cdot x^{2}) + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.11.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.11.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 (x^{1} x^{2}) + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 x^{1 + 2} + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.11.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 x^{3} + 1 x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 ((- 36 x^{2} + 12) (3 x^{3} + x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.12

Multipliziere $(- 36 x^{2} + 12) (3 x^{3} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 x^{2} (3 x^{3} + x) + 12 (3 x^{3} + x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 x^{2} (3 x^{3}) - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3} + x))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 x^{2} (3 x^{3}) - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.4.1.13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.13.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 \cdot 3 x^{2} x^{3} - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.13.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 \cdot 3 (x^{3} x^{2}) - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 \cdot 3 x^{3 + 2} - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 36 \cdot 3 x^{5} - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $3$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 x^{2} x + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.13.1.4.1

Bewege $x$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 (x \cdot x^{2}) + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1.13.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 (x^{1} x^{2}) + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 x^{1 + 2} + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 x^{3} + 12 (3 x^{3}) + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.2

Addiere $- 36 x^{3}$ und $36 x^{3}$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} + 0 + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.13.3

Addiere $- 108 x^{5}$ und $0$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5} + 12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 6 (- 108 x^{5}) + 6 (12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.15

Mutltipliziere $- 108$ mit $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x - 648 x^{5} + 6 (12 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.1.16

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$- \frac{324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x - 648 x^{5} + 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.2

Subtrahiere $648 x^{5}$ von $324 x^{5}$ .

$- \frac{- 324 x^{5} + 216 x^{3} + 36 x + 72 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.4.3

Addiere $36 x$ und $72 x$ .

$- \frac{- 324 x^{5} + 216 x^{3} + 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.5.1

Faktorisiere $108 x$ aus $- 324 x^{5} + 216 x^{3} + 108 x$ heraus.

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Schritt 3.6.5.1.1

Faktorisiere $108 x$ aus $- 324 x^{5}$ heraus.

$- \frac{108 x (- 3 x^{4}) + 216 x^{3} + 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.1.2

Faktorisiere $108 x$ aus $216 x^{3}$ heraus.

$- \frac{108 x (- 3 x^{4}) + 108 x (2 x^{2}) + 108 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.1.3

Faktorisiere $108 x$ aus $108 x$ heraus.

$- \frac{108 x (- 3 x^{4}) + 108 x (2 x^{2}) + 108 x (1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.1.4

Faktorisiere $108 x$ aus $108 x (- 3 x^{4}) + 108 x (2 x^{2})$ heraus.

$- \frac{108 x (- 3 x^{4} + 2 x^{2}) + 108 x (1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.1.5

Faktorisiere $108 x$ aus $108 x (- 3 x^{4} + 2 x^{2}) + 108 x (1)$ heraus.

$- \frac{108 x (- 3 x^{4} + 2 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- \frac{108 x (- 3 {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- \frac{108 x (- 3 u^{2} + 2 u + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.6.5.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 3.6.5.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$- \frac{108 x (- 3 u^{2} + 2 (u) + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.4.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$- \frac{108 x (- 3 u^{2} + (- 1 + 3) u + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{108 x (- 3 u^{2} - 1 u + 3 u + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.6.5.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \frac{108 x ((- 3 u^{2} - 1 u) + 3 u + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- \frac{108 x (u (- 3 u - 1) - (- 3 u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 u - 1$ .

$- \frac{108 x ((- 3 u - 1) (u - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{108 x ((- 3 x^{2} - 1) (x^{2} - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{108 x ((- 3 x^{2} - 1) (x^{2} - 1^{2}))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.5.7

Faktorisiere.

$- \frac{108 x (- 3 x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3 x^{2} - 1$ und ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Schritt 3.6.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{108 x (- (3 x^{2}) - 1) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.6.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{108 x (- (3 x^{2}) - 1 (1)) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$- \frac{108 x (- (3 x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.6.4

Schreibe $- (3 x^{2} + 1)$ als $- 1 (3 x^{2} + 1)$ um.

$- \frac{108 x (- 1 (3 x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.6.5

Faktorisiere $3 x^{2} + 1$ aus $108 x (- 1 (3 x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$- \frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x \cdot (- 1) (x + 1)) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6.6.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.6.6.1

Faktorisiere $3 x^{2} + 1$ aus ${(3 x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$- \frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x \cdot (- 1) (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{(3 x^{2} + 1) ((108 x \cdot (- 1) (x + 1)) (x - 1))}{(3 x^{2} + 1) {(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(108 x \cdot (- 1) (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $108$ .

$- \frac{- 108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(108 x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.9

Multipliziere $- - \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ .

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Schritt 3.6.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.9.2

Mutltipliziere $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{108 x (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $108 \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$108 \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 1)) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Schritt 4.2

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 1) (x - 1)] - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 1) (x - 1)] - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 1) (x - 1)] - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x (x + 1)$ und $g (x) = x - 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5

Differenziere.

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Schritt 4.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x (x + 1)]) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.7

Differenziere.

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Schritt 4.7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.7.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.7.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x + (x + 1) \cdot 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.7.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.7.6.1

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (x + x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.7.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3}]}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.8.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} + 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (3 {(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.9

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) ({(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.9.2

Faktorisiere ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) ({(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$ heraus.

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Schritt 4.9.2.1

Faktorisiere ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(3 x^{2} + 1)}^{3} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))$ heraus.

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) - 3 x (x + 1) (x - 1) ({(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.9.2.2

Faktorisiere ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ aus $- 3 x (x + 1) (x - 1) ({(3 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$ heraus.

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) + {(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.9.2.3

Faktorisiere ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) + {(3 x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))$ heraus.

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{6}}$

Schritt 4.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.10.1

Faktorisiere ${(3 x^{2} + 1)}^{2}$ aus ${(3 x^{2} + 1)}^{6}$ heraus.

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2} {(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$108 \frac{{(3 x^{2} + 1)}^{2} ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]))}{{(3 x^{2} + 1)}^{2} {(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.10.3

Forme den Ausdruck um.

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.15

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.16.1

Addiere $6 x$ und $0$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 3 x (x + 1) (x - 1) (6 x)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.16.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x (x + 1) (x - 1) x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 (x^{1} x) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.18

Potenziere $x$ mit $1$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 (x^{1} x^{1}) (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{1 + 1} (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.20

Addiere $1$ und $1$ .

$108 \frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.21

Kombiniere $108$ und $\frac{(3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22

Vereinfache.

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Schritt 4.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1)) - 18 x^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1)) + (- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.22.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.22.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.22.4.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + (x - 1) (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.3

Multipliziere $(x - 1) (2 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.22.4.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x + 1) - 1 (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x + 1))) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.22.4.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.22.4.1.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.22.4.1.1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 2 x - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.1.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} - x - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + x + 2 x^{2} - x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.22.4.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x^{2} + 0 - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.2.2

Addiere $x^{2} + 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x^{2} - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.3

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{108 ((3 x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.4

Multipliziere $(3 x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.22.4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2} - 1) + 1 (3 x^{2} - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2} - 1)) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.22.4.1.5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $3 x^{2} \cdot - 1$ und $1 (3 x^{2})$ neu an.

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 x^{2} + 1 \cdot 3 x^{2} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.5.2

Addiere $- 1 \cdot 3 x^{2}$ und $1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 0 + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.5.3

Addiere $3 x^{2} (3 x^{2})$ und $0$ .

$\frac{108 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.22.4.1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{108 (3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.22.4.1.6.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{108 (3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{108 (3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.6.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{108 (3 \cdot 3 x^{4} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{108 (9 x^{4} + 1 \cdot - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{108 (9 x^{4} - 1) + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{108 (9 x^{4}) + 108 \cdot - 1 + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.8

Mutltipliziere $9$ mit $108$ .

$\frac{972 x^{4} + 108 \cdot - 1 + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.9

Mutltipliziere $108$ mit $- 1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.22.4.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.22.4.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 (x \cdot x^{2}) - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.22.4.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 (x^{1} x^{2}) - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 x^{1 + 2} - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.10.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 x^{3} - 18 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.10.2

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 ((- 18 x^{3} - 18 x^{2}) (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.11

Multipliziere $(- 18 x^{3} - 18 x^{2}) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.22.4.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{3} (x - 1) - 18 x^{2} (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{3} x - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} (x - 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{3} x - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.22.4.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.22.4.1.12.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.22.4.1.12.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 (x \cdot x^{3}) - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 4.22.4.1.12.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 (x^{1} x^{3}) - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{1 + 3} - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} - 18 x^{3} \cdot - 1 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.22.4.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 (x \cdot x^{2}) - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.22.4.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 (x^{1} x^{2}) - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{1 + 2} - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{3} - 18 x^{2} \cdot - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{3} + 18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.2

Subtrahiere $18 x^{3}$ von $18 x^{3}$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 0 + 18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.12.3

Addiere $- 18 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4} + 18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{972 x^{4} - 108 + 108 (- 18 x^{4}) + 108 (18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.14

Mutltipliziere $- 18$ mit $108$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 - 1944 x^{4} + 108 (18 x^{2})}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.1.15

Mutltipliziere $18$ mit $108$ .

$\frac{972 x^{4} - 108 - 1944 x^{4} + 1944 x^{2}}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.4.2

Subtrahiere $1944 x^{4}$ von $972 x^{4}$ .

$\frac{- 972 x^{4} - 108 + 1944 x^{2}}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 972 x^{4} + 1944 x^{2} - 108}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.6

Faktorisiere $108$ aus $- 972 x^{4} + 1944 x^{2} - 108$ heraus.

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Schritt 4.22.6.1

Faktorisiere $108$ aus $- 972 x^{4}$ heraus.

$\frac{108 (- 9 x^{4}) + 1944 x^{2} - 108}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.6.2

Faktorisiere $108$ aus $1944 x^{2}$ heraus.

$\frac{108 (- 9 x^{4}) + 108 (18 x^{2}) - 108}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.6.3

Faktorisiere $108$ aus $- 108$ heraus.

$\frac{108 (- 9 x^{4}) + 108 (18 x^{2}) + 108 (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.6.4

Faktorisiere $108$ aus $108 (- 9 x^{4}) + 108 (18 x^{2})$ heraus.

$\frac{108 (- 9 x^{4} + 18 x^{2}) + 108 (- 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.6.5

Faktorisiere $108$ aus $108 (- 9 x^{4} + 18 x^{2}) + 108 (- 1)$ heraus.

$\frac{108 (- 9 x^{4} + 18 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 x^{4}$ heraus.

$\frac{108 (- (9 x^{4}) + 18 x^{2} - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.8

Faktorisiere $- 1$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$\frac{108 (- (9 x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{4}) - (- 18 x^{2})$ heraus.

$\frac{108 (- (9 x^{4} - 18 x^{2}) - 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.10

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{108 (- (9 x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{108 (- (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.12

Schreibe $- (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1)$ als $- 1 (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1)$ um.

$\frac{108 (- 1 (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1))}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.22.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{108 (9 x^{4} - 18 x^{2} + 1)}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$