Analysis Beispiele

$y = \ln (\sin (x))$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Faktoren von $\csc (x) \cos (x)$ um.

$\cos (x) \csc (x)$

Schritt 1.4.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 1.4.4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$f' (x) = \cot (x)$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 3.6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Schritt 3.7

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \csc^{2} (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 4.3

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 4.4

Multipliziere $\csc^{2} (x)$ mit $\csc^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Bewege $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 4.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 4.5.2

Schreibe $- 1 \csc^{4} (x)$ als $- \csc^{4} (x)$ um.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 4.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 4.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 4.6.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Schritt 4.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 4.8

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 4.10

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Schritt 4.11

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Schritt 4.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Schritt 4.13

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Schritt 4.14

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Schritt 4.15

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Schritt 4.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Schritt 4.17

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Schritt 4.18

Vereinfache.

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Schritt 4.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Schritt 4.18.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.18.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Schritt 4.18.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Schritt 4.18.3

Stelle die Terme um.

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$