Analysis Beispiele

$y = \cos (x) + \tan (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) + \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \sin (x) + \sec^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$- \cos (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \cos (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 2.3.3

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Schritt 2.3.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Schritt 2.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \cos (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Schritt 2.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \cos (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.2.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 2.4.2.6

Kombinieren.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 2.4.2.7

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.7.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 2.4.2.7.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x)$

Schritt 2.4.2.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \cos (x)$

Schritt 2.4.2.7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \cos (x)$

Schritt 2.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{3} (x)$ heraus.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \cos (x)$

Schritt 2.4.3.2

Separiere Brüche.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 2.4.3.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.3.4

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.3.5

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.3.6

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 2.4.3.7

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{2} (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.6.2

Addiere $2$ und $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.7

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.8

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.11

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.12

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - - \sin (x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 1 \sin (x)$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.7

Kombinieren.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.8

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.8.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.8.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.9

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.10

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.4.12

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.5.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.2

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{4} (x)$ heraus.

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.3

Separiere Brüche.

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.4

Wandle von $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ nach $\tan^{2} (x)$ um.

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.6

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.7

Separiere Brüche.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.8

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\frac{4}{1} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.9

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.10

Multipliziere mit $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x) \cdot 1} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.11

Separiere Brüche.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.12

Wandle von $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ nach $\sec^{4} (x)$ um.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 3.4.5.13

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.2

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.6

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.7

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.7.1

Bewege $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.7.3

Addiere $2$ und $2$ .

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{4} (x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.9

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.10

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.13

Multipliziere $\tan^{2} (x)$ mit $\tan (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.13.1

Bewege $\tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.13.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $\tan^{2} (x)$ .

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Schritt 4.2.13.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.13.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.2.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan^{3} (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sec^{4} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3.4

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3.6

Addiere $1$ und $3$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.2.3

Addiere $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ und $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.3.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$16 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$16 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$16 \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.4

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.5

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.6

Kombinieren.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.7

Multipliziere $\cos^{4} (x)$ mit $\cos (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.3.7.1

Mutltipliziere $\cos^{4} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 4.5.3.7.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos^{1} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 \sin (x)}{{\cos (x)}^{4 + 1}} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.7.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.8

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.9

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.10

Kombiniere $8$ und $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.11

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.12

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.13

Kombinieren.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.14

Multipliziere $\cos^{3} (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.3.14.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{3 + 2}} + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.14.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.3.15.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.3.15.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.4.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{5} (x)$ heraus.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.2

Separiere Brüche.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.4

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x) \cdot 1} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.5

Separiere Brüche.

$\frac{16}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.6

Wandle von $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ nach $\sec^{4} (x)$ um.

$\frac{16}{1} \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.7

Dividiere $16$ durch $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.8

Multipliziere mit $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.9

Faktorisiere $\cos^{3} (x)$ aus $\cos^{5} (x)$ heraus.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.10

Separiere Brüche.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.11

Wandle von $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ nach $\tan^{3} (x)$ um.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.12

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.13

Multipliziere mit $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.14

Separiere Brüche.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.15

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Schritt 4.5.4.16

Dividiere $8$ durch $1$ .

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$