Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{4 - x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.8.3

Bringe ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.16

Mutltipliziere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.17

Um ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.18

Kombiniere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20

Multipliziere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.20.1

Bewege ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.21

Vereinfache ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23

Vereinfache.

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Schritt 1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.4

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 8)$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.6

Schreibe $- (3 x - 8)$ als $- 1 (3 x - 8)$ um.

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.23.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 8$ und $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.5.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Schritt 2.13

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Schritt 2.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{4 - x}$

Schritt 2.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{4 - x}$

Schritt 2.16

Multipliziere.

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Schritt 2.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Schritt 2.16.2

Mutltipliziere $3 x - 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Schritt 2.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{4 - x}$

Schritt 2.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.18.1

Mutltipliziere $3 x - 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{4 - x}$

Schritt 2.18.2

Mutltipliziere $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(4 - x) \cdot 2}$

Schritt 2.18.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (4 - x)}$

Schritt 2.19

Vereinfache.

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Schritt 2.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.19.2.1

Es sei $u_{2} = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.19.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.1.2

Multipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.19.2.1.2.1

Bewege $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.1.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.19.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.19.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.19.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.19.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.2

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 4 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 - 6 x + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.2

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.2.3.3

Addiere $- 6 x$ und $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.19.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 + 2 (- x)}$

Schritt 2.19.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$

Schritt 2.19.3.3

Schreibe $\frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 - 2 x})$

Schritt 2.19.3.4

Mutltipliziere $\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{8 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (8 - 2 x)}$

Schritt 2.19.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.19.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 - 2 x$ heraus.

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Schritt 2.19.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) - 2 x)}$

Schritt 2.19.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) + 2 (- x))}$

Schritt 2.19.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4) + 2 (- x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (4 - x))}$

Schritt 2.19.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.19.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (4 - x)}$

Schritt 2.19.4.2.2

Potenziere $4 - x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 ((4 - x) {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.19.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19.4.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19.4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.19.4.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.6

Schreibe $16$ als $- 1 (- 16)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 16)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.8

Schreibe $- (3 x - 16)$ als $- 1 (3 x - 16)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2.19.11

Mutltipliziere $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 16}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 16}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 16) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 16) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 16) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 16) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 16)) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 16)) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.3.6

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (3 + 0) - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3 - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.3.7.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 - x$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 - x$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.14

Multipliziere.

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Schritt 3.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + 1 (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.14.2

Mutltipliziere $3 x - 16$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}) \cdot 1}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.16

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.16.1

Mutltipliziere $3 x - 16$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.16.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + (3 x - 16) \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 - x)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + (3 x - 16) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17

Vereinfache.

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Schritt 3.17.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + 3 x (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}) - 16 \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.2

Multipliziere $3 x \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Schritt 3.17.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + x (\frac{3 (3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2}) - 16 \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + x (\frac{9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}) - 16 \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2} - 16 \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.17.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 (- 8) (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \cdot (- 8 \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2} - 8 (3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2} - 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.17.1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.1.5.1.1

Forme um.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2} - 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{x \cdot (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2} - 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.5.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} - 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.6

Um $- 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} - 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.7

Kombiniere $- 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 24 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.1.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.9.2

Schreibe $9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.17.1.9.2.1

Füge Klammern hinzu.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.9.2.2

Faktorisiere $3 u_{2}$ aus $9 x u_{2} - 48 u_{2}$ heraus.

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Schritt 3.17.1.9.2.2.1

Faktorisiere $3 u_{2}$ aus $9 x u_{2}$ heraus.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 u_{2} (3 x) - 48 u_{2}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.9.2.2.2

Faktorisiere $3 u_{2}$ aus $- 48 u_{2}$ heraus.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 u_{2} (3 x) + 3 u_{2} (- 16)}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.9.2.2.3

Faktorisiere $3 u_{2}$ aus $3 u_{2} (3 x) + 3 u_{2} (- 16)$ heraus.

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 u_{2} (3 x - 16)}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.9.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 16)}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.10

Um $3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 16)}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.11

Kombiniere $3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 16)}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = \frac{\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 16)}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.13

Schreibe $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 16)}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.17.1.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f''' (x) = \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 x - 16)}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 x) + 3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 16}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.13.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f''' (x) = \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot (3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x) + 3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 16}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.13.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$f''' (x) = \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + 3 \cdot (3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x) - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.13.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f''' (x) = \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} x - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.1.13.6

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = \frac{\frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.17.2.1

Schreibe $\frac{\frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{4 {(4 - x)}^{3}}$ als ein Produkt um.

$f''' (x) = \frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{4 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 3.17.2.2

Mutltipliziere $\frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{4 {(4 - x)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 (4 {(4 - x)}^{3})}$

Schritt 3.17.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f''' (x) = \frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{8 {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{8 {(4 - x)}^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{3}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{3}})$

Schritt 4.2

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{({(4 - x)}^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 \frac{d}{d x} (x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.4

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 - x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 - x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.10.3

Bringe ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.10.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.12

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.16

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.16.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.16.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.16.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.16.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.16.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.19

Um ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.20

Kombiniere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.22

Multipliziere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.22.1

Bewege ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.22.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.22.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.22.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.22.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.23

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.23.1

Vereinfache ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

Schritt 4.23.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.23.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 - x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (9 (\frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.23.2.2

Kombiniere $9$ und $\frac{- x + 2 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.23.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.24

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 4.24.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 - x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.24.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.24.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 - x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.25

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.26

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.28.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.28.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{3}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.29

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.30

Kombiniere $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $6$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.31

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{18 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.32

Faktorisiere $2$ aus $18 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.33

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.33.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.33.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.33.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.33.4

Dividiere $9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.34

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.35

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.36

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.37

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.38

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.39

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.40

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.41

Um $- 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.42

Kombiniere $- 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.43

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 9 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.44

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.45

Multipliziere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.45.1

Bewege ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.45.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.45.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.45.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.45.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.46

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.46.1

Vereinfache $- 18 {(4 - x)}^{1}$ .

Schritt 4.46.2

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.47

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 4.47.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $4 - x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.47.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.47.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $4 - x$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.48

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.49

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.50

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.51

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.51.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.51.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.52

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.53

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.54

Bringe ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 48 (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.55

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 48$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 48}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.56

Faktorisiere $2$ aus $- 48$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 24}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.57

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.57.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 24}{2 ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.57.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.57.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58

Differenziere.

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Schritt 4.58.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58.6

Multipliziere.

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Schritt 4.58.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58.6.2

Mutltipliziere $\frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.58.8

Mutltipliziere $\frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{3}}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.59

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 4.59.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $4 - x$ .

Schritt 4.59.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ gleich $n {u_{4}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

Schritt 4.59.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $4 - x$ .

Schritt 4.60

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.60.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.60.2

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus ${(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$ heraus.

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Schritt 4.60.2.1

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus ${(4 - x)}^{3} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{2} ((4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})) - 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.60.2.2

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus $- 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{2} ((4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})) + {(4 - x)}^{2} (- 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.60.2.3

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus ${(4 - x)}^{2} ((4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})) + {(4 - x)}^{2} (- 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [4 - x]))$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{2} ((4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.60.3

Ziehe das Minuszeichen vor die Brüche.

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Schritt 4.60.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{2} ((4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.60.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{2} ((4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{6}}$

Schritt 4.61

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.61.1

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus ${(4 - x)}^{6}$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{2} ((4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{2} {(4 - x)}^{4}}$

Schritt 4.61.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{{(4 - x)}^{2} ((4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{2} {(4 - x)}^{4}}$

Schritt 4.61.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{4}}$

Schritt 4.62

Faktorisiere $4 - x$ aus $(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$ heraus.

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Schritt 4.62.1

Faktorisiere $4 - x$ aus $- 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + (4 - x) (- 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{- 5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{4}}$

Schritt 4.62.2

Faktorisiere $4 - x$ aus $(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + (4 - x) (- 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{- 5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [4 - x]))$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{\frac{- 5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{4}}$

Schritt 4.63

Ziehe das Minuszeichen vor die Brüche.

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Schritt 4.63.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{4}}$

Schritt 4.63.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{\frac{- 5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{4}}$

Schritt 4.63.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{{(4 - x)}^{4}}$

Schritt 4.64

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.64.1

Faktorisiere $4 - x$ aus ${(4 - x)}^{4}$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{(4 - x) {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.64.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{(4 - x) (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{(4 - x) {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.64.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.65

Mutltipliziere $\frac{\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [4 - x])}{{(4 - x)}^{3}}$ mit $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot (\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x))}{{(4 - x)}^{3}})$

Schritt 4.66

Kombinieren.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.67

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.68

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.68.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.68.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.69

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.69.1

Faktorisiere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (\frac{24}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})) + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.69.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.69.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 2 \cdot 24 + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.70

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.70.1

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (- 3 (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.70.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 - 6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) ({(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.71

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 - 6 {(4 - x)}^{2 + \frac{1}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) (\frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.72

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 - 6 {(4 - x)}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) (\frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.73

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 - 6 {(4 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) (\frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.74

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 - 6 {(4 - x)}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) (\frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.75

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.75.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 - 6 {(4 - x)}^{\frac{4 + 1}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) (\frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.75.2

Addiere $4$ und $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 - 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) (\frac{d}{d x} (4 - x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{3}}$

Schritt 4.76

Multipliziere ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 - x)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.76.1

Bewege ${(4 - x)}^{3}$ .

Schritt 4.76.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 4.76.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

Schritt 4.76.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

Schritt 4.76.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Schritt 4.76.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.76.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

Schritt 4.76.6.2

Addiere $6$ und $1$ .

Schritt 4.77

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

Schritt 4.78

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 - 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.79

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Schritt 4.80

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

Schritt 4.81

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} ((9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}) (\frac{d}{d x} (x)))}{2 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.82

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

Schritt 4.83

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.83.1

Mutltipliziere $9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.83.2

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}})}{8 (2 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}})}$

Schritt 4.83.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f^{4} (x) = \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}} + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84

Vereinfache.

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Schritt 4.84.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 {(4 - x)}^{- \frac{5}{2}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{9 (- x + 2 (4 - x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = \frac{9 (- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = \frac{9 (- x) + 9 (2 \cdot 4) + 9 (2 (- x)) - 18 (4 - x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = \frac{9 (- x) + 9 (2 \cdot 4) + 9 (2 (- x)) - 18 \cdot 4 - 18 (- x) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.84.7.1

Subtrahiere $18 (- x)$ von $9 (- x)$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 9 \cdot (- 1 x) + 9 \cdot 2 \cdot 4 + 9 \cdot (2 (- x)) - 18 \cdot 4 + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9 \cdot - 1 x + 9 \cdot 2 \cdot 4 + 9 \cdot 2 (- x) - 18 \cdot 4 + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}} + 6 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})$ heraus.

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Schritt 4.84.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 \cdot - 1 x$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x)) + 9 \cdot 2 \cdot 4 + 9 \cdot (2 (- x)) - 18 \cdot 4 + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.2

Faktorisiere $3$ aus $9 \cdot 2 \cdot 4$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x)) + 3 (3 \cdot 2 \cdot 4) + 9 \cdot (2 (- x)) - 18 \cdot 4 + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.3

Faktorisiere $3$ aus $9 \cdot 2 (- x)$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x)) + 3 (3 \cdot 2 \cdot 4) + 3 (3 \cdot (2 (- x))) - 18 \cdot 4 + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.4

Faktorisiere $3$ aus $- 18 \cdot 4$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x)) + 3 (3 \cdot 2 \cdot 4) + 3 (3 \cdot (2 (- x))) + 3 (- 6 \cdot 4) + 48 + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.5

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x)) + 3 (3 \cdot 2 \cdot 4) + 3 (3 \cdot (2 (- x))) + 3 (- 6 \cdot 4) + 3 (16) + 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.6

Faktorisiere $3$ aus $6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}} + 6 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x)) + 3 (3 \cdot 2 \cdot 4) + 3 (3 \cdot (2 (- x))) + 3 (- 6 \cdot 4) + 3 (16) + 3 (2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 \cdot - 1 x) + 3 (3 \cdot 2 \cdot 4)$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x) + 3 \cdot 2 \cdot 4) + 3 (3 \cdot (2 (- x))) + 3 (- 6 \cdot 4) + 3 (16) + 3 (2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.8

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 \cdot - 1 x + 3 \cdot 2 \cdot 4) + 3 (3 \cdot 2 (- x))$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x) + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot (2 (- x))) + 3 (- 6 \cdot 4) + 3 (16) + 3 (2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.9

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 \cdot - 1 x + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 (- x)) + 3 (- 6 \cdot 4)$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x) + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot (2 (- x)) - 6 \cdot 4) + 3 (16) + 3 (2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.10

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 \cdot - 1 x + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 (- x) - 6 \cdot 4) + 3 (16)$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x) + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot (2 (- x)) - 6 \cdot 4 + 16) + 3 (2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.2.11

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 \cdot - 1 x + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 (- x) - 6 \cdot 4 + 16) + 3 (2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}} + 6 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 \cdot (- 1 x) + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot (2 (- x)) - 6 \cdot 4 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 3 \cdot 2 \cdot 4 + 3 \cdot (2 (- x)) - 6 \cdot 4 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.4

Multipliziere $3 \cdot 2 \cdot 4$ .

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Schritt 4.84.7.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 6 \cdot 4 + 3 \cdot (2 (- x)) - 6 \cdot 4 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 + 3 \cdot (2 (- x)) - 6 \cdot 4 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 + 6 (- x) - 6 \cdot 4 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 6 \cdot 4 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (9 x (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.84.7.8.1

Multipliziere $9 x \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}$ .

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Schritt 4.84.7.8.1.1

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (x (\frac{9}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.8.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{9}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{x \cdot 9}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}} + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.8.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{9 \cdot x}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}} + 6 (\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.8.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{9 x}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{6}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} - 48 \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.8.4

Kombiniere $- 48$ und $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{9 x}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{6}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{9 x}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{6}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{9 x}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{6}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (- \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10

Vereinfache.

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Schritt 4.84.7.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 4.84.7.10.1.1

Faktorisiere ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ aus $2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot (2 (\frac{9 x}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})) + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{6}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (- \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.84.7.10.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 2 (9 x) + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{6}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (- \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{6}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (- \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 4.84.7.10.3.1

Faktorisiere ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ aus $2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}) (\frac{6}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}) + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (- \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.84.7.10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 2 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 6 + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (- \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (- \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 4.84.7.10.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}$ in den Zähler.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} (\frac{- 48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.5.2

Faktorisiere ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ aus $2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot (2 (\frac{- 48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot (2 (\frac{- 48}{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}}})))}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot - 48)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.10.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 48$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} - 96)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.84.7.11.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 (4 - x) - 96)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.11.2

Vereinfache.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 (4 - x) - 96)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 12 \cdot 4 + 12 (- x) - 96)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.11.4

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 48 + 12 (- x) - 96)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.11.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 18 x + 48 - 12 x - 96)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.12

Subtrahiere $12 x$ von $18 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 6 x + 48 - 96)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.13

Subtrahiere $96$ von $48$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 6 x - 24 + 16 + 6 x - 48)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.14

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (- 3 x + 24 - 24 + 16 + 6 x - 48)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.15

Addiere $- 3 x$ und $6 x$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 24 - 24 + 16 - 48)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.16

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 0 + 16 - 48)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.17

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x + 16 - 48)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.84.7.18

Subtrahiere $48$ von $16$ .

$f^{4} (x) = \frac{3 (3 x - 32)}{16 {(4 - x)}^{\frac{7}{2}}}$