Analysis Beispiele

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 4 \cos (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (3 x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 6 + 12 \sin (3 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + 12 \sin (3 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 \sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 \sin (3 x)]$

Schritt 2.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [12 \sin (3 x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 \sin (3 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 \sin (3 x)$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$0 + 12 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$0 + 12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 + 12 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$0 + 12 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 12 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 12 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 + 12 (\cos (3 x) \cdot 3)$

Schritt 2.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$0 + 12 (3 \cdot \cos (3 x))$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$0 + 36 \cos (3 x)$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $36 \cos (3 x)$ .

$f'' (x) = 36 \cos (3 x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 \cos (3 x)$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$36 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$36 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$36 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$- 36 (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 36 \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 36$ .

$- 108 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 108 \sin (3 x) \cdot 1$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 108$ mit $1$ .

$f''' (x) = - 108 \sin (3 x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $- 108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 108 \sin (3 x)$ nach $x$ gleich $- 108 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$- 108 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$- 108 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 108 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$- 108 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 108 \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 108$ .

$- 324 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 324 \cos (3 x) \cdot 1$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 324$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 324 \cos (3 x)$