Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x - 3}{2 x - 8}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x - 3$ und $g (x) = 2 x - 8$ .

$\frac{(2 x - 8) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(2 x - 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x - 8) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(2 x - 8) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x - 8$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 8) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [2 x - 8]}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) (2 + 0)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - (2 x - 3) \cdot 2}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 8) - 2 (2 x - 3)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x - 3)}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 (2 x) + 2 \cdot - 8 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Subtrahiere $2 (2 x)$ von $2 (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot - 8 + 0 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Addiere $2 \cdot - 8$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot - 8 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{- 16 - 2 \cdot - 3}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$\frac{- 16 + 6}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Addiere $- 16$ und $6$ .

$\frac{- 10}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{{(2 x - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 8$ heraus.

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Schritt 1.3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$- \frac{10}{{(2 (x) - 8)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$- \frac{10}{{(2 x + 2 \cdot - 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 4$ heraus.

$- \frac{10}{{(2 (x - 4))}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Wende die Produktregel auf $2 (x - 4)$ an.

$- \frac{10}{2^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{10}{4 {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$- \frac{2 (5)}{4 {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(x - 4)}^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (5)}{2 (2 {(x - 4)}^{2})}$

Schritt 1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 5}{2 (2 {(x - 4)}^{2})}$

Schritt 1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = - \frac{5}{2 {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $- \frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{2 {(x - 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ als ${({(x - 4)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$- \frac{5}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- \frac{5}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$- \frac{5}{2} (- 2 {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 (\frac{5}{2}) ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 2.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10}{2} ({(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere ${(x - 4)}^{- 3}$ und $\frac{10}{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{- 3} \cdot 10}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.4.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von ${(x - 4)}^{- 3}$ .

$\frac{10 \cdot {(x - 4)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.3.2.4.2

Bringe ${(x - 4)}^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.3.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x - 4)}^{3}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(x - 4)}^{3})} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.3.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} (1 + 0)$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{5}{{(x - 4)}^{3}} \cdot 1$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{{(x - 4)}^{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ als ${({(x - 4)}^{3})}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$5 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$5 (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 15 ({(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 3.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} (1 + 0)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4} \cdot 1$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$- 15 {(x - 4)}^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ .

$\frac{- 15}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{15}{{(x - 4)}^{4}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{15}{{(x - 4)}^{4}}$ nach $x$ gleich $- 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}]$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ als ${({(x - 4)}^{4})}^{- 1}$ um.

$- 15 \frac{d}{d x} [{({(x - 4)}^{4})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 15 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 4}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 4}$ und $g (x) = x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$- 15 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 15 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$- 15 (- 4 {(x - 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$60 ({(x - 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 4.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} (1 + 0)$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5} \cdot 1$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $60$ mit $1$ .

$60 {(x - 4)}^{- 5}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 \frac{1}{{(x - 4)}^{5}}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $60$ und $\frac{1}{{(x - 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{60}{{(x - 4)}^{5}}$