Analysis Beispiele

$x (\cos (2 x))$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Mutltipliziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)$

Schritt 1.3.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.2

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 2 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (x (2 \cos (2 x))) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 (x (\cos (2 x))) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $2 \sin (2 x)$ von $- 2 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = - 4 x \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.2

$- 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- 4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 3.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 8 \cos (2 x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x))) - 4 \cos (2 x) - 8 \cos (2 x)$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$8 (x (\sin (2 x))) - 4 \cos (2 x) - 8 \cos (2 x)$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $8 \cos (2 x)$ von $- 4 \cos (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 x \sin (2 x) - 12 \cos (2 x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x \sin (2 x) - 12 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.2

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$8 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$8 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$8 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$8 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.2.9

Mutltipliziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + 24 \sin (2 x)$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x (2 \cos (2 x))) + 8 \sin (2 x) + 24 \sin (2 x)$

Schritt 4.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 (x (\cos (2 x))) + 8 \sin (2 x) + 24 \sin (2 x)$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $8 \sin (2 x)$ und $24 \sin (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 16 x \cos (2 x) + 32 \sin (2 x)$