Analysis Beispiele

$y = \sqrt{4 x - 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x - 1}$ als ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 x - 1$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Schritt 1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.13.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Schritt 1.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 x - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.8

Kombiniere ${(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Bringe ${(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 2.10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2.11

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.15

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 2.18

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 + 0)$

Schritt 2.19

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.19.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 4$

Schritt 2.19.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.19.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ als ${({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$- 4 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 3.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Schritt 3.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ und $g (x) = 4 x - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 1$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 1$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.8

Kombiniere ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.9.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- 4 (- \frac{3 \cdot {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.9.2

Bringe ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 (\frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{3 \cdot 4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.12

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.15

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.17

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.18

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 + 0)$

Schritt 3.19

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.19.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 4$

Schritt 3.19.2

Kombiniere $\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{6 \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.19.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f''' (x) = \frac{24}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{24}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ als ${({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ um.

$24 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Schritt 4.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ und $g (x) = 4 x - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 1$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{5}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 1$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.8

Kombiniere ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ und $\frac{5}{2}$ .

$24 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.9.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$24 (- \frac{5 \cdot {(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.9.2

Bringe ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 (- \frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$- 24 (\frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ und $- 24$ .

$\frac{5 \cdot - 24}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $5$ mit $- 24$ .

$\frac{- 120}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 4.12

Faktorisiere $2$ aus $- 120$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 60}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 4.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 60}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 60}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 4.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.16

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.19

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 + 0)$

Schritt 4.20

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.20.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 4$

Schritt 4.20.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.20.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.20.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.20.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $60$ .

$\frac{- 240}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.20.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{240}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$