Analysis Beispiele

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{t})}^{3} d t$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{t^{2}}$ und ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Schritt 2

Sei $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , folglich $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{1}{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{t}$ als $t^{- 1}$ um.

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Subtrahiere $\frac{1}{t^{2}}$ von $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 1 + \frac{1}{t}$ ein.

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$u_{lower} = 1 + 1 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{lower} = 3$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 1 + \frac{1}{t}$ ein.

$u_{upper} = 1 + \frac{1}{1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{3}^{2} - u^{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{3}^{2} u^{3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{3}^{2})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{3}^{2})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{u^{4}}{4}$ bei $2$ und $3$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{3^{4}}{4})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{3^{4}}{4})$

Schritt 6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{3^{4}}{4})$

Schritt 6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{4}{1} - \frac{3^{4}}{4})$

Schritt 6.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- (4 - \frac{3^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- (4 - \frac{81}{4})$

Schritt 6.2.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

Schritt 6.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

Schritt 6.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{16 - 81}{4}$

Schritt 6.2.7.2

Subtrahiere $81$ von $16$ .

$- \frac{- 65}{4}$

Schritt 6.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{65}{4}$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{65}{4})$

Schritt 6.2.10

Mutltipliziere $\frac{65}{4}$ mit $1$ .

$\frac{65}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{65}{4}$

Dezimalform:

$16.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$16 \frac{1}{4}$

Schritt 8