Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{2 + 2 w} \cdot (2 w) d w$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 + 2 w}$ .

$\int \frac{2}{2 + 2 w} \cdot w d w$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{2}{2 + 2 w}$ und $w$ .

$\int \frac{2 w}{2 + 2 w} d w$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $2 + 2 w$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 w$ heraus.

$\int \frac{2 (w)}{2 + 2 w} d w$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int \frac{2 (w)}{2 \cdot 1 + 2 w} d w$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 w$ heraus.

$\int \frac{2 (w)}{2 \cdot 1 + 2 (w)} d w$

Schritt 1.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 (w)$ heraus.

$\int \frac{2 (w)}{2 \cdot (1 + w)} d w$

Schritt 1.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 w}{2 \cdot (1 + w)} d w$

Schritt 1.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{w}{1 + w} d w$

Schritt 2

Stelle $1$ und $w$ um.

$\int \frac{w}{w + 1} d w$

Schritt 3

Dividiere $w$ durch $w + 1$ .

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Schritt 3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$w$

$1$

$w$

$0$

Schritt 3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $w$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $w$ .

					$1$
	$w$	+	$1$		$w$	+	$0$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$w$	+	$1$		$w$	+	$0$
			+	$w$	+	$1$

Schritt 3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $w + 1$

				$1$
$w$	+	$1$		$w$	+	$0$
			-	$w$	-	$1$

Schritt 3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$w$	+	$1$		$w$	+	$0$
			-	$w$	-	$1$
					-	$1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{1}{w + 1} d w$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d w + \int - \frac{1}{w + 1} d w$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$w + C + \int - \frac{1}{w + 1} d w$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $w$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$w + C - \int \frac{1}{w + 1} d w$

Schritt 7

Sei $u = w + 1$ . Dann ist $d u = d w$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = w + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d w}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $w + 1$ .

$\frac{d}{d w} [w + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $w + 1$ nach $w$ $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [1]$ .

$\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [1]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ gleich $n w^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d w} [1]$

Schritt 7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $w$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $w$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$w + C - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$w + C - (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$w - \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $w + 1$ .

$w - \ln (| w + 1 |) + C$