Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{3} \cdot {(4 x - x^{2})}^{3} - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{3} \cdot {(4 x - x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int {(4 x - x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3

Multipliziere ${(4 x - x^{2})}^{3}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{3} \int {(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- x^{2}) + 3 (4 x) {(- x^{2})}^{2} + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{3} \int 4 x {(4 x)}^{2} + 3 {(4 x)}^{2} (- x^{2}) + 3 (4 x) {(- x^{2})}^{2} + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 {(4 x)}^{2} (- x^{2}) + 3 (4 x) {(- x^{2})}^{2} + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) {(- x^{2})}^{2} + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} {(- x^{2})}^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.7

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.8

Bewege $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 \cdot 4 x \cdot x) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.9

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 \cdot 4 x) x + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.10

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 \cdot 4) x \cdot x + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.11

Bewege $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.12

Bewege $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 (4 \cdot 4 x \cdot x) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.13

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 (4 \cdot 4 x) x (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.14

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 (4 \cdot 4) x \cdot x (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.15

Bewege $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.16

Bewege $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.17

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.18

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 x (- 1 \cdot - 1 x^{2}) x^{2} - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.19

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 x (- 1 \cdot - 1) x^{2} x^{2} - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.20

Bewege $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.21

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - x^{2} (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2}) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.22

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - x^{2} (- 1 \cdot - 1 x^{2}) x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.23

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - x^{2} (- 1 \cdot - 1) x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.24

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.25

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} \int 16 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.26

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.27

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 (x^{1} x) x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.28

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 (x^{1} x^{1}) x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.29

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{1 + 1} x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.30

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{2} x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.31

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.32

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{2 + 1} + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.33

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.34

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} + 12 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.35

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} + 48 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.36

Mutltipliziere $48$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.37

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 (x^{1} x) x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.38

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 (x^{1} x^{1}) x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.39

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{1 + 1} x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.40

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.41

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{2 + 2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.42

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.43

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.44

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} - 12 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.45

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.46

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.47

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{1 + 2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.48

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{3} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.49

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{3 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.50

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.51

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} + 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.52

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.53

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - (x^{2} x^{2}) x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.54

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{2 + 2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.55

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{4} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.56

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - (x^{4} x^{2}) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.57

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{4 + 2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.58

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{6} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.59

Stelle $64 x^{3}$ und $- 48 x^{4}$ um.

$\frac{1}{3} \int - 48 x^{4} + 64 x^{3} + 12 x^{5} - x^{6} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.60

Bewege $64 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \int - 48 x^{4} + 12 x^{5} + 64 x^{3} - x^{6} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.61

Stelle $- 48 x^{4}$ und $12 x^{5}$ um.

$\frac{1}{3} \int 12 x^{5} - 48 x^{4} + 64 x^{3} - x^{6} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.62

Bewege $64 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \int 12 x^{5} - 48 x^{4} - x^{6} + 64 x^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.63

Bewege $- 48 x^{4}$ .

$\frac{1}{3} \int 12 x^{5} - x^{6} - 48 x^{4} + 64 x^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 3.64

Stelle $12 x^{5}$ und $- x^{6}$ um.

$\frac{1}{3} \int - x^{6} + 12 x^{5} - 48 x^{4} + 64 x^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} (\int - x^{6} d x + \int 12 x^{5} d x + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \int x^{6} d x + \int 12 x^{5} d x + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 12 x^{5} d x + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 7

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 \int x^{5} d x + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 9

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 48$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 \int x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 11

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $64$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 64 \int x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 64 (\frac{1}{4} x^{4} + C)) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Schritt 13

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 64 (\frac{1}{4} x^{4} + C)) - \frac{1}{3} \int x^{3} d x$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 64 (\frac{1}{4} x^{4} + C)) - \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Schritt 15.2

Vereinfache.

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Schritt 15.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

Schritt 15.2.2

Mutltipliziere $\frac{x^{4}}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - \frac{x^{4}}{4 \cdot 3} + C$

Schritt 15.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - \frac{x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.4

Um $\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) \cdot \frac{12}{12} - \frac{x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.5

Kombiniere $\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4})$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) \cdot 12}{12} - \frac{x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) \cdot 12 - x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.7

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{12}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 15.2.8.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{\frac{3 \cdot 4}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4}{1} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Schritt 15.2.8.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{4 (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{12} (4 (- \frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{6} - \frac{48}{5} x^{5} + 16 x^{4}) - x^{4}) + C$